Ta xét đa giác có $n$ cạnh ($n \in \mathbb{N^*}, n \ge 4$)

Khi đó số đường chéo của đa giác $n$ cạnh là $\dfrac{n . (n-3)}{2}$

Theo đề bài, để đa giác đó có số cạnh bằng số đường chéo thì ta có phương trình $n = \dfrac{n (n-3)}{2}$

$2n = n (n-3)$

$2n = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 2n = 0$

$n^2 - 5n = 0$

$n (n-5) = 0$

$n = 0$ hoặc $n - 5 =0 $

$n = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $n = 5$ (thỏa mãn)

Vậy, đa giác thỏa mãn đề bài có $5$ cạnh.

Cứ mỗi một người bắt tay với một người trong $91$ người còn lại ta được $1$ cái bắt tay. Khi đó một người khi bắt tay với những người còn lại có $91$ cái bắt tay.

Khi đó xét $92$ người, ta có $92 . 91$ cái bắt tay.

Mà trong quá trình xét như vậy, luôn tồn tại hai trường hợp lặp lại với nhau nên số cái bắt tay trong hội nghị là: $\dfrac{92 . 91}{2} = 4186$ (cái).

$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

$= (2x + y) [(2x)^2 - 2x . y + y^2]$

$= (2x)^3 + y^3$

$= 8x^3 + y^3$

*) Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$

$x + 3 < 2$

$x < 2 - 3$

$x < -1$

Vậy, nghiệm của bất phương trình là $x < -1$.

$2x^4 + 6xy = 2x^3 . x + 6y . x = (2x^3 + 6y).x$

a)

- Nửa chu vi của mảnh vườn là: $50 : 2 = 25 (m)$

- Độ dài chiều dài của mảnh vườn là: $(25 + 5) : 2 = 15 (m)$

- Độ dài chiều rộng của mảnh vườn là: $25 - 15 = 10 (m)$

b) Diện tích mảnh vườn là: $15 \times 10 = 150 (m^2)$

$\dfrac{1}{3}axy. (axy^2)^2$

$= \dfrac{1}{3} . a . x . y . a^2 . x^2 . y^4$

$= \dfrac{1}{3} . (a . a^2) . (x . x^2) . (y . y^4)$

$= \dfrac{1}{3} a^3 x^3y^5$

$\dfrac{1}{5}x^2y^3z (\dfrac{1}{2} xyz)^3$

$= [\dfrac{1}{5} . (\dfrac{1}{2})^3] . (x^2 . x^3) . (y^3 . y^3) . (z . z^3)$

$= (\dfrac{1}{5} . \dfrac{1}{8}). x^5.y^6.z^4$

$= \dfrac{1}{40}x^5y^6z^4%

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có:

$x^2 + x + 1 = [x^2 + 2 . x . \dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})^2] - (\dfrac{1}{2})^2 + 1 = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} > 0$

Vậy, ta có điều phải chứng minh.

$x^2y + 2x^2y + 3x^2y + ... + 99x^2y + 100x^2y$

$= (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) . x^2y$

$= \dfrac{100 . 101}{2} . x^2y$

$= 5050x^2y$