Question

[Nguyễn Tiến Minh]

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong như hình vẽ (hoặc cho biểu thức f'(x) = x(x-1)(x+2)²).
Hỏi hàm số g(x) = f(x² - 2x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Answer 1

[Nguyễn Thanh Lâm]

x=17 vì ab+a+b-ab=ab-ab+a+b

         ab-ab+a+b=a+b

a+b giá trị lớn nhất thì ab=98 hoặc ab=89

Answer 2

[hoa có ngày nở lại , nhưng người kh...]

1. Tính đạo hàm của \(g(x)\):

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \(g'(x) = u'(x) \cdot f'(u(x))\):

\(g^{\prime }(x)=(x^{2}-2x)^{\prime }\cdot f^{\prime }(x^{2}-2x)=(2x-2)\cdot f^{\prime }(x^{2}-2x)\)

2. Tìm các nghiệm làm đạo hàm đổi dấu (\(g'(x) = 0\)):

\(g^{\prime }(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x-2=0\quad (1)\\ &f^{\prime }(x^{2}-2x)=0\quad (2)\end{aligned}\right.\)

• Giải phương trình (1):

\(2x-2=0\Leftrightarrow x=1\quad \text{(nghiệm đơn)}\)

• Giải phương trình (2):

Theo đề bài, biểu thức đạo hàm là \(f'(t) = t(t-1)(t+2)^2\). Do đó:

\(f^{\prime }(t)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=0\quad \text{(nghiệm đơn)}\\ &t=1\quad \text{(nghiệm đơn)}\\ &t=-2\quad \text{(nghiệm kép)}\end{aligned}\right.\)Thay \(t = x^2 - 2x\), ta xét các trường hợp:

• Với \(t = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 0 \\ & x = 2 \end{aligned}\right.\) (2 nghiệm đơn)

• Với \(t = 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 1 + \sqrt{2} \\ & x = 1 - \sqrt{2} \end{aligned}\right.\) (2 nghiệm đơn)

• Với \(t = -2 \Leftrightarrow x^2 - 2x = -2 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 2 = 0\) (Phương trình vô nghiệm)

3. Kết luận số điểm cực trị:

Phương trình \(g'(x) = 0\) có tổng cộng các nghiệm đơn phân biệt là:

\(x=1,\quad x=0,\quad x=2,\quad x=1-\sqrt{2},\quad x=1+\sqrt{2}\)

Answer 3

[Nguyễn Tiến Minh]

Nguyễn Thanh Lâm sai rồi đấy là toán lớp 6 mà còn đây là toán lớp 12

Answer 4

[Nguyễn Trần Phương Ly]

Toán học giải tích: Tìm số điểm cực trị của hàm số hợp \(g(x) = f(x^2 - 2x)\).Để tìm số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f(x^2 - 2x)\), ta cần tìm số nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của phương trình đạo hàm \(g'(x) = 0\).Bước 1: Tính đạo hàm \(g'(x)\)Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \([f(u)]' = u' \cdot f'(u)\), ta có:
\(g^{\prime }(x)=(x^{2}-2x)^{\prime }\cdot f^{\prime }(x^{2}-2x)=(2x-2)\cdot f^{\prime }(x^{2}-2x)\)Bước 2: Giải phương trình \(g'(x) = 0\)\(g^{\prime }(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x-2=0\quad (1)\\ &f^{\prime }(x^{2}-2x)=0\quad (2)\end{aligned}\right.\)

• Giải phương trình (1):
  \(2x-2=0\Leftrightarrow x=1\)
  (Đây là 1 nghiệm đơn).
• Giải phương trình (2):
  Dựa vào biểu thức \(f'(x) = x(x-1)(x+2)^2\), ta thấy \(f'(x) = 0\) khi:
  Do đó, phương trình \(f'(x^2 - 2x) = 0\) tương đương với các trường hợp làm đổi dấu đạo hàm:
• • \(x = 0\) (nghiệm đơn)
  • \(x = 1\) (nghiệm đơn)
  • \(x = -2\) (nghiệm kép / bội chẵn) \(\rightarrow \) Lưu ý: Đạo hàm không đổi dấu khi đi qua nghiệm bội chẵn, nên ta loại trường hợp này khi tìm cực trị.
• • Trường hợp 2.1: \(x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 0 \\ & x = 2 \end{aligned}\right.\) (Đây là 2 nghiệm đơn).
  • Trường hợp 2.2: \(x^2 - 2x = 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 1 + \sqrt{2} \\ & x = 1 - \sqrt{2} \end{aligned}\right.\) (Đây là 2 nghiệm đơn).

Bước 3: Tổng hợp số điểm cực trịTập nghiệm của phương trình \(g'(x) = 0\) gồm các nghiệm lẻ (làm đạo hàm đổi dấu) là:
\(x=1,\quad x=0,\quad x=2,\quad x=1+\sqrt{2},\quad x=1-\sqrt{2}\)Tất cả 5 nghiệm này đều phân biệt và đều là nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn). Do đó, đạo hàm \(g'(x)\) sẽ đổi dấu khi đi qua cả 5 điểm này.Vậy hàm số \(g(x) = f(x^2 - 2x)\) có 5 điểm cực trị.