Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)
Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)
⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)
Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
a, x^3+y^3−x^2y−xy^2≥0
x^2(x−y)+y^2(y−x)≥0
=x^2(x−y)−y^2(x−y)
=(x−y)(x^2−y^2)
Dùng hằng đẳng thức x^2−y^2=(x−y)(x+y):
=(x−y)^2(x+y)≥0
Vì x,y>0⇒x+y>0 và (x−y)^2≥0.
Vậy:
x^3+y^3≥x^2y+xy^2
chào lại em An baka nha:)
a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)
= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)
vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)
"=" xảy ra ki x=y
b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
vì x,y>0 nên x+y>0
=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)
\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y
"=" xảy ra khi x=y
c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)
\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)
"=" khi x=y
d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)
vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
"=" xảy ra khi x=y
a, \(x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2\)
\(\Leftrightarrow(x^3+y^3)-(x^2y+xy^2)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)(x-y)(x+y)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)
Vì \((x - y)^2 \ge 0\) với mọi \(x,y\) và \(x+y>0\) (do \(x,y>0\) ), nên bất đẳng thức \((x - y)^2(x + y) \ge 0\) luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi \(x=y\)
b, \(4(x^3 + y^3) \ge (x + y)^3\)
\(4(x^3 + y^3) - (x + y)^3 \ge 0\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3-(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3x^3-3x^2y-3xy^2+3y^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \((x - y)^2 \ge 0\) và \(x + y > 0\) .
Dấu = xảy ra khi \(x=y\)
c, \(2(x^3 + y^3) \ge (x + y)(x^2 + y^2)\)
\(\Leftrightarrow2(x^3+y^3)-(x+y)(x^2+y^2)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3-(x^3+xy^2+x^2y+y^3)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)(x^2-y^2)\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)^2(x+y)\ge0\)
Bất đẳng thức này đúng với mọi \(x,y>0\) .
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) .
d, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x + y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x + y}{xy}\ge\dfrac{4}{x + y}\)
Vì \(x, y > 0\) nên \(xy > 0\) và \(x+y>0\) . Nhân cả 2 vế với \(xy(x + y)\) :
\(\Leftrightarrow(x+y)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow(x-y)^2\ge0\)
Bất đẳng thức \((x - y)^2 \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x, y\) .
Dấu = xảy ra khi \(x=y\)
a)
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\left(x^3-x^2y\right)+\left(y^3-xy^2\right)\ge0\)
\(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
Vì \(x>0,y>0\) nên \(x+y>0;\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
b)
\(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(4\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)^3\ge0\)
\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\left(x+y\right)\left\lbrack4\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2+2xy+y^2\right)\right\rbrack\ge0\)
\(\left(x+y\right)\left(3x^2-6xy+3y^2\right)\ge0\)
\(3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
Vì \(x>0,y>0\) nên \(x+y>0;3\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
c)
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+xy^2+x^2y+y^3\)
\(2x^3+2y^3-x^3-xy^2-x^2y-y^3\ge0\)
\(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (chứng minh tương tự phần \(a)\))
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
d)
Ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)
Suy ra: \(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
Vì \(x>0,y>0\) nên \(xy>0;x+y>0\) nên:
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y.\)