\(H\left(x\right)=10x-6x^2+5\)

\(=-6\left(x^2-\frac53x-\frac56\right)\)

\(=-6\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac56+\frac{25}{36}-\frac{55}{36}\right)=-6\left(x-\frac56\right)^2+\frac{55}{6}\le\frac{55}{6}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\frac56=0\)

=>\(x=\frac56\)

H = 10\(x\) - 6\(x^2\) + 5

H = -6\(x^2\) + 10\(x\) - \(\frac{25}{6}\) + \(\frac{55}{6}\)

H = -6(\(x^2\) - 2.\(\frac56\)\(x\) + \(\frac{25}{36}\)) + \(\frac{55}{6}\)

H = - 6(\(x-\frac56\))\(^2\) + \(\frac{55}{6}\)

Vì (\(x\) - \(\frac56\))\(^2\) ≥ 0 \(\forall x\) nên: -6(\(x-\frac56\))\(^2\) ≤ 0 suy ra:

H = - 6(\(x-\frac56\))\(^2\) + \(\frac{55}{6}\) ≤ \(\frac{55}{6}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x-\frac56\) = 0 suy ra \(x\) = 5/6

Vậy H max = 55/6 khi x = 5/6

Đặt \(B=2^2+2^3+\cdots+2^{100}\)

=>2B=\(2^3+2^4+\cdots+2^{101}\)

=>2B-B=\(2^3+2^4+\cdots+2^{101}-2^2-2^3-\cdots-2^{100}\)

=>B=\(2^{101}-4\)

\(A=1+2^2+2^3+\cdots+2^{100}\)

\(=1+2^{101}-4=2^{101}-3\)

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰

2A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

2A – A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹)       - (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰)

A =  2¹⁰¹ - 1

Giải:

Vì số đó chia 8; 9; 12 đều dư 6; 7; 10 nên số đó thêm vào 2 đơn vị thì chia hết cho cả 8; 9; 12

Gọi số cần tìm là: \(x\) (\(x\in N\))

Theo bài ra ta có: (\(x\) + 2) ∈ BC(8; 9; 12)

8 = 2\(^3\); 9 = 3\(^2\); 12 = 2\(^2\).3

BCNN(8; 9; 12) = 2\(^3\).3\(^2\) = 72

(\(x+2\) ) = B(72) = {0; 72; 144; 216;...}

\(x\in\) {-2; 70; 142; 214;...}

Vì \(x\) là số tự nhiên và nhỏ nhất nên \(x\) = 70

Vậy \(x\) = 70

ta có điều kiện : \(x \neq - 7 , x \neq - \frac{2}{3}\)

Nhân chéo:

\(\left(\right. 2 x - 5 \left.\right) \left(\right. 3 x + 2 \left.\right) = \left(\right. 6 x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 7 \left.\right)\)

Khai triển:

\(6 x^{2} + 4 x - 15 x - 10 = 6 x^{2} + 42 x - 3 x - 21\)

\(6 x^{2} - 11 x - 10 = 6 x^{2} + 39 x - 21\)

Rút gọn:

\(- 11 x - 10 = 39 x - 21\)

\(- 50 x = - 11\)

\(x=\frac{11}{50}\)

ta có điều kiện : \(x \neq - 7 , x \neq - \frac{2}{3}\)

Nhân chéo:

\(\left(\right. 2 x - 5 \left.\right) \left(\right. 3 x + 2 \left.\right) = \left(\right. 6 x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 7 \left.\right)\)

Khai triển:

\(6 x^{2} + 4 x - 15 x - 10 = 6 x^{2} + 42 x - 3 x - 21\)

\(6 x^{2} - 11 x - 10 = 6 x^{2} + 39 x - 21\)

Rút gọn:

\(- 11 x - 10 = 39 x - 21\)

\(- 50 x = - 11\)

\(x=\frac{11}{50}\)

A \(=\frac{(x+\frac12)}{(x+\frac13)}\)
\(=\frac{(6x+3)}{(6x+2)}\)
\(=1+\frac{1}{(6x+2)}\)

B \(=\frac{(x+1)}{(x+\frac12)}\)
\(=\frac{(2x+2)}{(2x+1)}\)
\(=1+\frac{1}{(2x+1)}\)

Nếu \(x ≥ 0:\)

\(6x + 2 > 2x + 1 > 0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{(6x+2)}<\frac{1}{(2x+1)}\)

\(⇒ A < B\)

Nếu \(x ≤ -1:\)

\(6x + 2 < 2x + 1 < 0\)

\(⇒\) \(\frac{1}{(6x+2)}>\frac{1}{(2x+1)}\)

\(⇒ A > B\)

Vậy:

\(x ≥ 0 ⇒ A < B\)

\(x ≤ -1 ⇒ A > B\)

Biến đổi biểu thức: A = (x + 1/2) / (x + 1/3) = 1 + 1 / (6x + 2) B = (x + 1) / (x + 1/2) = 1 + 1 / (2x + 1)

So sánh hai phần thêm vào:

TH1: x >= 0 Ta có 6x + 2 > 2x + 1 > 0 nên 1 / (6x + 2) < 1 / (2x + 1). Suy ra A < B.

TH2: x <= -1 Khi x = -1: A = 1,5 và B = 0 nên A > B. Khi x <= -2: Mẫu số âm và 6x + 2 < 2x + 1 < 0 nên 1 / (6x + 2) > 1 / (2x + 1). Suy ra A > B.

\(\frac{7}{3}\times\frac{21}{13}-\frac{7}{3}\times\frac{8}{13}=\frac{7}{3}\times\left(\frac{21}{13}-\frac{8}{13}\right)\)

\(=\frac{7}{3}\times\frac{13}{13}=\frac{7}{3}\times1=\frac{7}{3}\)

Bài 28:

a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n, n+1 (n∈N*)

- Tích của hai số là: A=n(n+1)

TH1: n là số chẵn

=> n⋮2

TH2: n là số lẻ

=> n+1 là số chẵn

=> (n+1)⋮2

=> A=n(n+1)⋮2

Do vậy, trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2

b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (n∈N*)

Tổng của ba số là:

A=n + (n+1) + (n+2)

A=n + n+1 + n+2

A=(n+n+n) + (1+2)

A=3n + 3

A=3(n+1)

Mà 3⋮3 nên 3(n+1)⋮3

Do đó: Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là a và a + 1

Trong hai số tự nhiên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2

Vậy a(a + 1) chia hết cho 2

b) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2

Ta có:
a + (a + 1) + (a + 2) = 3a + 3 = 3(a + 1)

Vậy tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = 51 

6x + ( 1 + .... + 6 ) = 51

6x + [ ( 1 + 6 ) x 6 / 2 ] = 51

6x + 21 = 75

6x = 51 - 21

6x = 30

x = 30 : 6 

x = 5

Vậy x = 5

6x+21=51

6x=51−21

6x=30

x=30:6

x=5​

TH1: p=2

p+2=2+2=4 là hợp số

=>LOại

TH2: p=3

p+2=3+2=5; p+4=3+4=7

=>Nhận

TH3: p=3k+1

p+2=3k+1+2

=3k+3

=3(k+1)⋮3

=>Loại

TH4: p=3k+2

p+4=3k+2+4

=3k+6

=3(k+2)⋮3

=>Loại

Vậy: p=3

Giải:

Số có ba chữ số có dạng: \(\overline{abc}\)

Số cách chọn a là: 1 cách

Số cách chọn b là: 3 cách

Số cách chọn c là: 2 cách

Số các số có 3 chữ số khác nhau lớn hơn 600 được lập từ các chữ số đã cho là: 1 x 3 x 2 = 6(số)

Đáp số:..

640;643;604;603

=> Từ các chữ số 0;4;6;3 ta có thể viết 4 chữ số có ba chữ số khác nhau và lớn hơn 600.