\(66 > x > 68\)

Vì \(x < 66\) và \(x > 68\)

\(\rarr\) không có số tự nhiên nào vừa nhỏ hơn \(66\) vừa lớn hơn \(68\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\)

WHAT ???

\(204 + 369 = 573\)

573

A \(= (1/(x-√x) + 1/(√x-1)) : ((√x+1)/(x-2√x+1))\)

\(= (1/(√x(√x-1)) + 1/(√x-1)) × ((√x-1)²/(√x+1))\)

\(=(\frac{(1+\sqrt{x})}{(\sqrt{x}(\sqrt{x}-1))})\times\left(\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}+1)}\right)\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-1)8}{\sqrt{x}}\)

Điều kiện: \(x > 0, x ≠ 1\)

A \(=\frac{(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}\)

Ta có: \(A=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

34446.9+457

=310014+457

=310471

\(3343 + 345 × 8 : 2 - 3 + 54 × 4\)

\(= 3343 + 2760 : 2 - 3 + 216\)

\(= 3343 + 1380 - 3 + 216\)

\(= 4723 - 3 + 216\)

\(= 4720 + 216\)

\(= 4936\)

569

345 + 56 x 4

= 345 + 224

= 569

\(400\,000 + 60\,000 - 40\,000\)

\(=460\,000-40\,000=420\,000\)

\(590\,000 - (50\,000 + 40\,000)\)

\(=590\,000-90\,000=500\,000\)

a) \(x⁴ − 2x³ + 2x − 1 = (x² − 1)(x² − 2x + 1) + 4x − 2\)

\(⇒ (x⁴ − 2x³ + 2x − 1) : (x² − 1) = x² − 2x + 1\) dư \(4x − 2\)

b) \(x³ − 3x² + 3x − 2 = (x² − x + 1)(x − 2)\)

\(⇒ (x³ − 3x² + 3x − 2) : (x² − x + 1) = x − 2\)

c) \(8x³ − 6x² − 5x + 3 = (4x + 3)(2x² − 3x + 1)\)

\(⇒ (8x³ − 6x² − 5x + 3) : (4x + 3) = 2x² − 3x + 1\)

d) \(2x³ − 3x² + 3x − 1 = (x² − x + 1)(2x − 1)\)

\(⇒ (2x³ − 3x² + 3x − 1) : (x² − x + 1) = 2x − 1\)

a)

• Với $n = 1$:
  $16^1 - 15(1) - 1 = 0 \vdots 75$ (đúng).
• Giả sử đúng với $n = k$:
  $16^k - 15k - 1 \vdots 75$.
• Ta chứng minh đúng với $n = k + 1$:
  $16^{k+1} - 15(k + 1) - 1$
  $= 16 \cdot 16^k - 15k - 16$
  $= 16(75M + 15k + 1) - 15k - 16$
  $= 16 \cdot 75M + 225k$
  $= 75(16M + 3k) \vdots 75$.
• Kết luận: Biểu thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$.

b)

• Với $n = 1$:
  $a^5 - a = a(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) \vdots 30$ (đúng).
• Giả sử đúng với $n = k$:
  $a^{4k+1} - a \vdots 30$.
• Ta chứng minh đúng với $n = k + 1$:
  $a^{4(k+1)+1} - a = a^{4k+5} - a$
  $= a^4(a^{4k+1} - a) + (a^5 - a)$
  Vì $a^{4k+1} - a \vdots 30$ và $a^5 - a \vdots 30$ nên tổng chia hết cho $30$.
• Kết luận: Biểu thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$ và $a \in \mathbb{N}$.
  Bạn tham khảo nhé 😅

• Với \(n = 0\): \(16^0 - 15 \cdot 0 - 1 = 0 \vdots 75\) (đúng).
• Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \geq 0\), tức là: \((16^k - 15k - 1) \vdots 75\).
• Ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:
  \(16^{k+1}-15(k+1)-1=16\cdot 16^{k}-15k-16\)
  \(=16\cdot (16^{k}-15k-1)+240k+16-15k-16\)
  \(=16\cdot (16^{k}-15k-1)+225k\)
  \(=16\cdot (16^{k}-15k-1)+75\cdot 3k\)

• Với \(n = 0\): \(a^1 - a = 0 \vdots 30\) (đúng).
• Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \geq 0\), tức là: \((a^{4k+1} - a) \vdots 30\).
• Ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:
  \(a^{4(k+1)+1}-a=a^{4k+5}-a=a^{4}\cdot a^{4k+1}-a\)
  \(=a^{4}(a^{4k+1}-a)+a^{5}-a\)
  \(=a^{4}(a^{4k+1}-a)+a(a-1)(a+1)(a^{2}+1)\)

1. \(a^4(a^{4k+1} - a) \vdots 30\) (theo giả thiết quy nạp).
2. Xét tích \(M = a(a-1)(a+1)(a^2+1)\):
3. • Có \((a-1)a(a+1)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(M \vdots 6\).
   • Nếu \(a\) chia 5 dư \(0, 1, 4\) thì một trong ba thừa số đầu chia hết cho 5. Nếu \(a\) chia 5 dư \(\pm 2\) thì \(a^2+1 \vdots 5\). Do đó \(M \vdots 5\).
   • Vì \(\text{UCLN}(6, 5) = 1\) nên \(M \vdots 30\).

= 49 dư 7