Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OA\) và dây \(MN\). Theo đề bài, \(MN \perp OA\) tại trung điểm \(H\) của \(OA\).

Vì \(A\) thuộc đường tròn \((O; 10)\) nên bán kính \(OA = 10\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên:

\(OH=\frac{OA}{2}=\frac{10}{2}=5\)

Xét tam giác \(OHM\) vuông tại \(H\) (do \(MN \perp OA\)).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OHM\):

\(OM^{2}=OH^{2}+MH^{2}\)

Trong đó, \(OM = 10\) (bán kính đường tròn). Thay số vào ta được:

\(10^{2}=5^{2}+MH^{2}\)

\(100=25+MH^{2}\)

\(MH^{2}=100-25=75\)

\(MH=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)

Vì đường kính (hoặc bán kính \(OA\)) vuông góc với dây \(MN\) tại \(H\) nên \(H\) đồng thời là trung điểm của dây \(MN\) (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).

\(MN=2\times MH=2\times 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\)

Độ dài dây \(MN\) là \(10\sqrt{3}\) (khoảng \(17,32\)).