Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-3}{4}=\frac{y+5}{3}=\frac{z-4}{5}=\frac{2x-3-3y-5+4z-4}{2.4-3.3+4.5}=\frac{2x-3y+4z-12}{19}=\frac{75-12}{19}=\frac{63}{19}\)
=> x,y,z=
1) Ta có : \(\sqrt{50}+\sqrt{26}+1>\sqrt{49}+\sqrt{25}+1=7+5+1=13=\sqrt{169}>\sqrt{168}\)
=> \(\sqrt{50}+\sqrt{26}+1>\sqrt{168}\)
6) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)
Khi đó M > \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> M > 1
Lại có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{cases}}\)
Khi đó M < \(\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=> M < 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) => 1 < M < 2
=> \(M\notinℤ\)(ĐPCM)
#)Giải :
Câu 1 :
a)
- Nếu a = 0 => b = 0 hoặc b - c = 0 => b = c hoặc b = c ( đều vô lí ) => a khác 0
- Nếu b = 0 => a = 0 ( vô lí ) => b khác 0
=> c = 0
=> |a| = b2.b = b3
=> b3 ≥ 0
=> b là số nguyên dương
=> a là số nguyên âm
Vậy a là số nguyên dương, b là số nguyên âm và c = 0
Bài 1:
|\(x\)| = 1 ⇒ \(x\) \(\in\) {-\(\dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{1}{3}\)}
A(-1) = 2(-\(\dfrac{1}{3}\))2 - 3.(-\(\dfrac{1}{3}\)) + 5
A(-1) = \(\dfrac{2}{9}\) + 1 + 5
A (-1) = \(\dfrac{56}{9}\)
A(1) = 2.(\(\dfrac{1}{3}\) )2- \(\dfrac{1}{3}\).3 + 5
A(1) = \(\dfrac{2}{9}\) - 1 + 5
A(1) = \(\dfrac{38}{9}\)
|y| = 1 ⇒ y \(\in\) {-1; 1}
⇒ (\(x;y\)) = (-\(\dfrac{1}{3}\); -1); (-\(\dfrac{1}{3}\); 1); (\(\dfrac{1}{3};-1\)); (\(\dfrac{1}{3};1\))
B(-\(\dfrac{1}{3}\);-1) = 2.(-\(\dfrac{1}{3}\))2 - 3.(-\(\dfrac{1}{3}\)).(-1) + (-1)2
B(-\(\dfrac{1}{3}\); -1) = \(\dfrac{2}{9}\) - 1 + 1
B(-\(\dfrac{1}{3}\); -1) = \(\dfrac{2}{9}\)
B(-\(\dfrac{1}{3}\); 1) = 2.(-\(\dfrac{1}{3}\))2 - 3.(-\(\dfrac{1}{3}\)).1 + 12
B(-\(\dfrac{1}{3};1\)) = \(\dfrac{2}{9}\) + 1 + 1
B(-\(\dfrac{1}{3}\); 1) = \(\dfrac{20}{9}\)
B(\(\dfrac{1}{3};-1\)) = 2.(\(\dfrac{1}{3}\))2 - 3.(\(\dfrac{1}{3}\)).(-1) + (-1)2
B(\(\dfrac{1}{3}\); -1) = \(\dfrac{2}{9}\) + 1 + 1
B(\(\dfrac{1}{3}\); -1) = \(\dfrac{20}{9}\)
B(\(\dfrac{1}{3}\); 1) = 2.(\(\dfrac{1}{3}\))2 - 3.(\(\dfrac{1}{3}\)).1 + (1)2
B(\(\dfrac{1}{3}\); 1) = \(\dfrac{2}{9}\) - 1 + 1
B(\(\dfrac{1}{3}\);1) = \(\dfrac{2}{9}\)
Câu a:
A = |x - 1| + |x - 2|
Vì |x - 2| = |2 - x| ta có:
A = |x - 1| + |2 - x|
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
A = |x - 1| + |2 - x| ≥ |x - 1 + 2 - x| = |(x - x) + (2 - 1)| = |0 + 1| = 1
Dấu bằng xảy ra khi (x - 1)(2 - x) ≥ 0
x - 1 = 0
x = 1
2 - x = 0
x = 2
Lập bảng ta có:
Theo bảng trên ta có:
1 ≤ x ≤ 2
Vậy Amin = 1 khi 1 ≤ x ≤ 2
B = 10 - 3.|x - 5|
|x - 5| ≥ 0 ∀ x
-3.|x - 5| ≤ 0 ∀ x
B = 10 - 3.|x - 5| ≤ 10 ∀ x
Dấu bằng xảy ra khi x - 5 = 0
x = 5
Vậy Bmax = 10 khi x = 5
kẻ mạnh không trả lời🤫
Thu gọn biểu thức sau: \(A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2023}\).
Chứng tỏ rằng \(A\) không phải là số chính phương.Lời giải:1. Thu gọn biểu thức \(A\):
Ta có:
\(A=1+2+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{2023}\)Nhân cả hai vế của \(A\) với \(2\), ta được:
\(2A=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{2024}\)Lấy biểu thức \(2A\) trừ đi biểu thức \(A\) theo từng vế:
\(2A-A=(2+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{2024})-(1+2+2^{2}+\dots +2^{2023})\)
\(A=2^{2024}-1\)2. Chứng minh \(A\) không phải là số chính phương:
Xét chữ số tận cùng của \(2^{2024}\):
Ta thấy lũy thừa của \(2\) có chu kỳ tận cùng lặp lại theo bốn số: \(2, 4, 8, 6\).
Vì số mũ \(2024\) chia hết cho \(4\) (\(2024 \div 4 = 506\)) nên \(2^{2024}\) có chữ số tận cùng giống với \(2^{4}\), tức là có chữ số tận cùng là 6.Do đó, chữ số tận cùng của biểu thức \(A = 2^{2024} - 1\) sẽ là:
\(6-1=5\)Mặt khác, một số chính phương có chữ số tận cùng là \(5\) thì bắt buộc phải có hai chữ số tận cùng là \(25\).
Ta xét tiếp hai chữ số tận cùng của \(2^{2024}\):
- Ta có \(2^{10} = 1024 \equiv 24 \pmod{100}\)
- \((2^{10})^2 = 2^{20} \equiv 24^2 = 576 \equiv 76 \pmod{100}\)
- Một số có tận cùng là \(76\) khi nâng lên lũy thừa bất kỳ vẫn tận cùng là \(76\).
- Vì \(2024 = 20 \times 101 + 4 \implies 2^{2024} = (2^{20})^{101} \times 2^4 \equiv 76 \times 16 = 1216 \equiv 16 \pmod{100}\).
Do đó \(2^{2024}\) có hai chữ số tận cùng là \(16\).\(\implies A = 2^{2024} - 1\) có hai chữ số tận cùng là \(16 - 1 = 15\).Vì \(A\) có tận cùng là \(15\) (không phải \(25\)) nên \(A\) không phải là số chính phương.
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(B = \vert{}x - 1\vert{} + \vert{}x - 2\vert{} + \vert{}x - 3\vert{} + \vert{}x - 4\vert{}\)Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối \(\vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{} \geq \vert{}a + b\vert{}\), dấu "=" xảy ra khi \(a \cdot b \geq 0\).Ta nhóm các hạng tử của \(B\) như sau:
\(B=(|{}x-1|{}+|{}x-4|{})+(|{}x-2|{}+|{}x-3|{})\)
\(B=(|{}x-1|{}+|{}4-x|{})+(|{}x-2|{}+|{}3-x|{})\)Áp dụng bất đẳng thức:
- \(\vert{}x - 1\vert{} + \vert{}4 - x\vert{} \geq \vert{}x - 1 + 4 - x\vert{} = \vert{}3\vert{} = 3\)
- |x - 2| + |3 - x\(\vert{} \geq \vert{}\)x - 2 + 3 - x| = |1| = 1$
Suy ra:(Dấu "=" xảy ra khi \((x - 1)(4 - x) \geq 0 \iff 1 \leq x \leq 4\))
(Dấu "=" xảy ra khi \((x - 2)(3 - x) \geq 0 \iff 2 \leq x \leq 3\))
\(B\ge 3+1=4\)Dấu "=" đồng thời xảy ra khi:
\(\begin{cases}1\le x\le 4\\ 2\le x\le 3\end{cases}\iff 2\le x\le 3\)Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\) là 4, đạt được khi \(2 \leq x \leq 3\).
Bài 4: Chứng minh chia hếtĐề bài: Cho biểu thức: \(S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{100}\). Chứng minh rằng \(S\) chia hết cho 65.Lời giải:Ta nhận thấy số \(65 = 5 \times 13\). Để chứng minh \(S\) chia hết cho 65, ta cần nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung chia hết cho 13 (vì bản thân các hạng tử đều chứa thừa số 5).Biểu thức \(S\) có tổng cộng 100 hạng tử. Ta nhóm liên tiếp cứ 4 hạng tử thành một nhóm (tổng cộng có \(100 \div 4 = 25\) nhóm):
\(S=(5+5^{2}+5^{3}+5^{4})+(5^{5}+5^{6}+5^{7}+5^{8})+\dots +(5^{97}+5^{98}+5^{99}+5^{100})\)Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:
\(S=5(1+5+5^{2}+5^{3})+5^{5}(1+5+5^{2}+5^{3})+\dots +5^{97}(1+5+5^{2}+5^{3})\)Tính giá trị trong ngoặc:
\(1+5+5^{2}+5^{3}=1+5+25+125=156\)Thay vào biểu thức \(S\):
\(S=5\times 156+5^{5}\times 156+\dots +5^{97}\times 156\)
\(S=156\times (5+5^{5}+\dots +5^{97})\)Ta lại có: \(156 = 12 \times 13\), nên \(156\) chia hết cho \(13\).
\(\implies S=13\times 12\times 5\times (1+5^{4}+\dots +5^{96})\)
\(\implies S=65\times 12\times (1+5^{4}+\dots +5^{96})\)Vì tích có chứa thừa số 65 nên \(S\) hoàn toàn chia hết cho 65 (Đpcm).