Question

[Lương Tú Anh]

Cho S= 2+ 2 mũ 2+ 2mũ 3+ 2mũ 4+...+2mũ 100.Chứng tỏ S là bội của 3 có ai biết làm không ạ

Answer 1

[mikadayne]

Chào bạn! Bài toán này rất hay và có cách giải rất gọn gàng bằng phương pháp nhóm các số hạng. Mình hướng dẫn bạn chi tiết cách làm nhé:

Đề bài

Chứng tỏ rằng tổng $S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{100}$ là bội của $3$.

Hướng dẫn giải

Tổng $S$ có tất cả $100$ số hạng (từ $2^1$ đến $2^{100}$). Vì $100$ là số chẵn (chia hết cho $2$), ta có thể nhóm các số hạng thành từng cặp (mỗi cặp gồm $2$ số hạng liên tiếp):

$$S = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6) + \dots + (2^{99} + 2^{100})$$

Tiến hành đặt nhân tử chung cho từng nhóm:

• Nhóm thứ nhất: $2 + 2^2 = 2 \cdot (1 + 2) = 2 \cdot 3$
• Nhóm thứ hai: $2^3 + 2^4 = 2^3 \cdot (1 + 2) = 2^3 \cdot 3$
• Cứ tiếp tục như vậy cho đến nhóm cuối cùng: $2^{99} + 2^{100} = 2^{99} \cdot (1 + 2) = 2^{99} \cdot 3$

Khi đó, biểu thức $S$ được viết lại thành:

$$S = 2 \cdot 3 + 2^3 \cdot 3 + 2^5 \cdot 3 + \dots + 2^{99} \cdot 3$$

Đặt thừa số chung $3$ ra ngoài:

$$S = 3 \cdot (2 + 2^3 + 2^5 + \dots + 2^{99})$$

Kết luận

Vì biểu thức trong ngoặc là một số nguyên (hoặc số tự nhiên) và $S$ tích có chứa thừa số $3$, nên $S$ chia hết cho $3$, tức là $S$ là bội của $3$. tick cho mik

Answer 2

[vannie]

S = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)
S = 2 · (1 + 2) + 2³ · (1 + 2) + 2⁵ · (1 + 2) + ... + 2⁹⁹ · (1 + 2)
S = 2 · 3 + 2³ · 3 + 2⁵ · 3 + ... + 2⁹⁹ · 3
S = 3 · (2 + 2³ + 2⁵ + ... + 2⁹⁹)
Vì 3 · (2 + 2³ + 2⁵ + ... + 2⁹⁹) \(\vdots\) 3
Nên S\(\vdots\) 3
Vậy S là bội của 3 (đpcm)

Answer 3

[Nguyễn Ngọc Khánh Linh]

Dễ

Answer 4

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(S=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\cdots+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\cdots+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(2+2^3+\cdots+2^{99}\right)\) ⋮3