Question

[Phí Đức Hiếu]

1/3+2/3^2+3/3^3+4/3^4+...+100/3^100

Answer 1

[hoa có ngày nở lại , nhưng người kh...]

Bước 1: Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{3^{4}}+\dots +\frac{99}{3^{100}}+\frac{100}{3^{101}}\)

Bước 2: Lấy vế theo vế của biểu thức \(S\) trừ đi \(\frac{1}{3}S\)

\(S-\frac{1}{3}S=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{3}{3^{3}}-\frac{2}{3^{3}}\right)+\dots +\left(\frac{100}{3^{100}}-\frac{99}{3^{100}}\right)-\frac{100}{3^{101}}\)

\(\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\dots +\frac{1}{3^{100}}-\frac{100}{3^{101}}\)

Bước 3: Tính tổng cấp số nhân

Đặt \(A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{100}}\). Đây là một cấp số nhân gồm \(100\) số hạng có số hạng đầu \(a_1 = \frac{1}{3}\) và công bội \(r = \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân \(A = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}\):

\(A=\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{100}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\frac{1}{3^{100}}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{100}}\right)\)

Thay \(A\) ngược lại vào phương trình ở Bước 2:

\(\frac{2}{3}S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{100}}\right)-\frac{100}{3^{101}}\)

Bước 4: Tìm giá trị của \(S\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{2}\):

\(S=\frac{3}{2}\cdot \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^{100}}-\frac{100}{3^{101}}\right]\)

\(S=\frac{3}{4}-\frac{3}{4\cdot 3^{100}}-\frac{300}{2\cdot 3^{101}}\)

\(S=\frac{3}{4}-\frac{1}{4\cdot 3^{99}}-\frac{150}{3^{101}}\)

Quy đồng mẫu số hai phân số cuối với mẫu chung là \(4 \cdot 3^{100}\):

\(S=\frac{3}{4}-\frac{3}{4\cdot 3^{100}}-\frac{200}{4\cdot 3^{100}}\)

\(S=\frac{3}{4}-\frac{203}{4\cdot 3^{100}}\)

Answer 2

[Triệu Hoàn Hảo]

Hoa có ngày nở lại lấy ở đâu vậy

Answer 3

[vannie]

$S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots + \frac{100}{3^{100}}$$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \dots + \frac{99}{3^{100}} + \frac{100}{3^{101}}$$S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{3}{3^3} - \frac{2}{3^3}\right) + \dots + \left(\frac{100}{3^{100}} - \frac{99}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \frac{\frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right)}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{100}{3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2}\cdot\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^{101}} - \frac{200}{2 \cdot 3^{101}}$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{203}{2 \cdot 3^{101}}$$S = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{203}{2 \cdot 3^{101}}\right)$$S = \frac{3}{4} - \frac{203}{4 \cdot 3^{100}}$

Answer 4

[vannie]

$$S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots + \frac{100}{3^{100}}$$
$$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \dots + \frac{99}{3^{100}} + \frac{100}{3^{101}}$$
$$S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{3}{3^3} - \frac{2}{3^3}\right) + \dots + \left(\frac{100}{3^{100}} - \frac{99}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \frac{\frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right)}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{100}{3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2}\cdot\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^{101}} - \frac{200}{2 \cdot 3^{101}}$$
$$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{203}{2 \cdot 3^{101}}$$
$$S = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{203}{2 \cdot 3^{101}}\right)$$
$$S = \frac{3}{4} - \frac{203}{4 \cdot 3^{100}}$$