Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right);y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(x=0;x=\pm\sqrt{m}\) suy ra đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là \(A\left(0;m^2-m\right);B\left(-\sqrt{m};-m\right);\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right);\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m;}-m^2\right)\)
Do đó \(AB=AC=\sqrt{m^4+m}\) nên yêu cầu bài toán được thỏa mãn
\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=120^0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=120^0\)\(\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m\right)+m^4}{m+m^4}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m^4-2m=-m-m^4\)
\(\Leftrightarrow3m^4-m=0\Leftrightarrow m\left(3m^3-1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
\(y=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2=m\end{cases}\)
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị <=> phương trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=>m>0
- Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
\(A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};-m^2=m-1\right);\left(\sqrt{m};-m^2=m-1\right)\)
- \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|x_C-x_B\right|=m^2\sqrt{m}\); \(AB=AC=\sqrt{m^4+m},BC=2\sqrt{m}\)
- \(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=1\Leftrightarrow\frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1\)\(\Leftrightarrow m^3-2m+1=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{cases}\)
Đáp số : \(m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}};m=-\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)
Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)
Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \) là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)
\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :
\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)
\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)
Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)
Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)
Gọi \(H=BC\cap Oy\) thì AH là đường cao tam giác ABC
Ta có \(H\left(0;c-\frac{b^2}{4a}\right)\Rightarrow AH=\frac{b^2}{4\left|a\right|}\)
\(\sin\widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin\widehat{ACH}}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{b^3-8a}{8\left|a\right|b}\)
Từ yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\R=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m^3-2m+1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=1\) hoặc \(m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là \(-x+m=\frac{x^2-1}{x}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì ac < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác không
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt :
\(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\)
\(AB=4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1+m\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_2-x_1\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1=8\)
Áp ụng định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_2+x_1=\frac{m}{2}\\x_2x_1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(AB=4\Leftrightarrow\frac{m^2}{4}+2=8\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)
Vậy \(m=\pm2\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm
Ta cần tìm để hàm số
có đúng ba điểm cực trị phân biệt.
Bước 1: Tính đạo hàm
Các điểm cực trị là những nghiệm của mà tại đó đạo hàm đổi dấu.
Bước 2: Xét các nghiệm của đạo hàm
Ta có:
Hàm số đã cho là hàm đa thức \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2mx^2 + 1\), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có đạo hàm:
\(f^{\prime }(x)=4x^{3}-12x^{2}+4mx=4x(x^{2}-3x+m)\)
Số điểm cực trị của hàm số chính là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'(x) = 0\).
Xét phương trình:
\(4x(x^{2}-3x+m)=0\iff \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x^{2}-3x+m=0\quad (*)\end{aligned}\right.\)
Gọi \(g(x) = x^2 - 3x + m\). Phương trình \((*)\) là phương trình bậc hai có biệt thức \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 9 - 4m\). Ta xét đầy đủ các trường hợp của \(m\) như sau:
Trường hợp 1: \(m > \frac{9}{4}\)
• Khi đó \(\Delta = 9 - 4m < 0\), dẫn đến phương trình \((*)\) vô nghiệm.
• Phương trình \(f'(x) = 0\) chỉ có duy nhất một nghiệm đơn là \(x = 0\).
• Do đó, đạo hàm \(f'(x)\) chỉ đổi dấu một lần khi qua \(x = 0\). Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
\(\rightarrow \) Trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(m = \frac{9}{4}\)
• Khi đó \(\Delta = 0\), phương trình \((*)\) có nghiệm kép là \(x = \frac{3}{2}\) (khác \(0\)).
• Biểu thức đạo hàm trở thành: \(f'(x) = 4x\left(x - \frac{3}{2}\right)^2\).
• Khi qua nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\), đạo hàm \(f'(x)\) không đổi dấu; biểu thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn \(x = 0\). Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
\(\rightarrow \) Trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 3: $m = 0
• Thay \(m = 0\) vào phương trình đạo hàm:
\(f^{\prime }(x)=4x(x^{2}-3x)=4x^{2}(x-3)\)
• Phương trình \(f'(x) = 0\) có một nghiệm bội đôi \(x = 0\) và một nghiệm đơn \(x = 3\).
• Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn \(x = 3\). Do đó, hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
\(\rightarrow \) Trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 4: \(m < \frac{9}{4}\) và \(m \neq 0\)
• Do \(m < \frac{9}{4}\) nên \(\Delta > 0\), phương trình \((*)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
• Do \(m \neq 0\) nên \(g(0) = 0^2 - 3(0) + m = m \neq 0\), tức là cả hai nghiệm \(x_1, x_2\) đều khác \(0\).
• Khi đó, phương trình \(f'(x) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(0, x_1, x_2\). Vì đây đều là các nghiệm đơn nên đạo hàm \(f'(x)\) sẽ đổi dấu khi đi qua cả 3 nghiệm này.
• Suy ra, hàm số có đúng 3 điểm cực trị phân biệt.
\(\rightarrow \) Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận
Tất cả các giá trị thực của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(\mathbf{m<}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{4}}\text{ và }\mathbf{m\ne 0}\)
Hoặc viết dưới dạng tập hợp: \(m \in \left(-\infty; \frac{9}{4}\right) \setminus \{0\}\)
Ta có: \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2mx^2 + 1\)
=>f'(x)=\(4x^3-4\cdot3x^2+2m\cdot2x=4x^3-12x^2+4m\cdot x\)
=>f'(x)=4x(\(x^2-3x+m\) )
Đặt f'(x)=0
=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ g(x)=x^2-3x+m=0\quad(*)\end{array}\right.\)
Để hàm số f(x) có đúng ba điểm cực trị phân biệt thì g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0
=>\(\begin{cases}g\left(0\right)<>0\\ \Delta>0\end{cases}\)
=>m<>0 và \(\left(-3\right)^2-4m\) >0
=>m<>0 và 4m<9
=>m<>0 và m<9/4