Question

[Trịnh Ngọc Diệp]

Cho tam giác ABC có BD là đường trung tuyến. Biết phân giác của góc ACB và góc ABD vuông góc với nhau.

Chứng minh rằng \(\cos BAC\ge\frac{\sqrt2}{2}\)

Answer 1

[Lê Thị Cúc]

Trong tam giác ABC, đặt ∠BAC=A, ∠ABC=B, ∠ACB=C. Ta có A+B+C=180∘.

Vì BD là trung tuyến, nên ∠ABD=A2+C2. Điều kiện đề bài cho: phân giác ∠ACB và phân giác ∠ABD vuông góc nhau, tức là

C2+12(A2+C2)=90∘.

Rút gọn:

A4+3C4=90∘⇒A+3C=360∘.

Kết hợp với A+B+C=180∘, ta suy ra B=2C−180∘. Để B>0, cần C>90∘. Khi đó

A=360∘−3C.

Vì C>90∘, nên A<90∘. Thực tế, từ A+3C=360∘, ta có A=360∘−3C≤45∘.

Do đó:

cos⁡A≥cos⁡45∘=22.cos⁡∠BAC≥22.

Answer 2

[ミ★ＣＵＳＨＩＮＶＮ★彡]

Ta có:

BD là trung tuyến ⇒D là trung điểm của AC.

Gọi ∠C=x, ∠ABD=y.

Do phân giác của ∠ACB vuông góc với phân giác của ∠ABD:

2x​+2y ​=90∘⇒x+y=180∘.

Vì D∈AC nên trong tam giác BCD:

∠CBD=180∘−B−y=x−B.

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCD: sinxBD=sin(x−B)BC.

Lại do BD là trung tuyến:BD=212AB2+2BC2−AC2.

Kết hợp với định lý cos trong tam giác ABC và rút gọn suy ra:cosA≥22cos(A)=22 Hay cos∠BAC≥22 ​.​

Answer 3

[Lâm Kiều Mỹ Linh]

Liên quan đến tự nhiên xã hội hả