Nhó tick cho mình nhé
Bài 3

Nhiệm vụ: Cho hai số hữu tỉ \(a , b\) thỏa mãn \(a \sqrt{229} + b \sqrt{829}\) là số hữu tỉ. Chứng minh rằng \(a = b = 0\).
Giải: Giả sử \(S = a \sqrt{229} + b \sqrt{829}\) là số hữu tỉ. Vì \(\sqrt{229}\) và \(\sqrt{829}\) đều là số vô tỉ và tuyến tính độc lập trên tập số hữu tỉ (không tỉ lệ với nhau bởi các hệ số hữu tỉ khác 0), để tổng của chúng là số hữu tỉ, hệ số của các phần vô tỉ phải bằng 0. Do đó, \(a = 0\) và \(b = 0\).

Bài 4

a) Nhiệm vụ: Tìm tất cả các số hữu tỉ \(x , y\) thỏa mãn \(x - \left(\right. y + 2 \left.\right) \sqrt{5} = 3 + 7 \sqrt{5}\).

Giải: Hai vế có dạng số hữu tỉ cộng bội của \(\sqrt{5}\), nên phần hữu tỉ và phần vô tỉ tương ứng phải bằng nhau:

• Phần hữu tỉ: \(x = 3\)
• Phần vô tỉ: \(- \left(\right. y + 2 \left.\right) = 7 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = - 9\) Vậy cặp nghiệm là \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 3 , - 9 \left.\right)\).

b) Nhiệm vụ: Tìm tất cả các số thực \(x\) thỏa mãn \(x + \sqrt{5}\) và \(x^{2} - 4 \sqrt{5}\) đều là số nguyên.

Giải: Đặt \(x + \sqrt{5} = k\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)), suy ra \(x = k - \sqrt{5}\). Thay vào biểu thức thứ hai:
\(x^{2} - 4 \sqrt{5} = \left(\right. k - \sqrt{5} \left.\right)^{2} - 4 \sqrt{5} = \left(\right. k^{2} + 5 \left.\right) + \left(\right. - 2 k - 4 \left.\right) \sqrt{5}\)
Để biểu thức này nguyên, phần vô tỉ phải bằng 0: \(- 2 k - 4 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k = - 2\). Vậy \(x = - 2 - \sqrt{5}\).

c) Nhiệm vụ: Cho ba số nguyên dương \(x , y , z\) thỏa mãn \(\frac{3 x - y \sqrt{5}}{y - 2 z \sqrt{5}}\) là số hữu tỉ. Chứng minh \(6 x z\) là số chính phương.

Giải: Đặt phân số bằng \(\frac{p}{q}\) (\(p , q \in \mathbb{Z} , q \neq 0\)), nhân chéo:
\(q \left(\right. 3 x - y \sqrt{5} \left.\right) = p \left(\right. y - 2 z \sqrt{5} \left.\right)\)
Sắp xếp thành phần hữu tỉ và vô tỉ:
\(3 x q - p y = \left(\right. q y - 2 z p \left.\right) \sqrt{5}\)
Hai vế phải bằng 0 đồng thời (vế trái hữu tỉ, vế phải là bội của \(\sqrt{5}\)):

1. \(3 x q = p y\) → \(p = \frac{3 x q}{y}\)
2. \(q y = 2 z p\)

Thay \(p\) từ phương trình 1 vào phương trình 2, chia \(q \neq 0\): \(y^{2} = 6 x z\). Điều này chứng tỏ \(6 x z = y^{2}\) là số chính phương.

Bài 5

Nhiệm vụ: Tìm tất cả các số tự nhiên \(x\) để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

1. \(A = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\) Giải: Để \(A\) nguyên, \(\sqrt{x + 1}\) là ước dương của 1 → \(\sqrt{x + 1} = 1\) → \(x = 0\) (nếu tập tự nhiên bao gồm 0; nếu bắt đầu từ 1 thì không có nghiệm).
2. \(B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1}\) (\(x \neq 1\)) Giải: Đặt \(t = \sqrt{x}\) (số nguyên dương), ta có \(\frac{t + 4}{t - 1} = k \in \mathbb{N}\) → \(t = \frac{k + 4}{k - 1}\). Để \(t\) nguyên, \(k - 1\) là ước của 5: \(k = 2 \rightarrow t = 6 \rightarrow x = 36\); \(k = 6 \rightarrow t = 2 \rightarrow x = 4\). Vậy nghiệm là \(x = 4 , 36\).
3. \(C = \frac{2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}\) Giải: Rút gọn \(C = 2 + \frac{2}{\sqrt{x} + 1}\). Để \(C\) nguyên, \(\sqrt{x} + 1 = 2 \rightarrow x = 1\). Vậy nghiệm là \(x = 1\).

Bài 6

Nhiệm vụ: Cho hai số tự nhiên \(x , y\) thỏa mãn \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) là số hữu tỉ. Chứng minh \(x , y\) đều là số chính phương.
Giải: Đặt \(S = \sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{a}{b}\) (phân số tối giản). Bình phương \(\sqrt{x} = S - \sqrt{y}\):
\(x = \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{2 a}{b} \sqrt{y} + y\)
Sắp xếp: \(2 a b \sqrt{y} = a^{2} + b^{2} \left(\right. y - x \left.\right)\). Vế phải nguyên nên \(\sqrt{y}\) hữu tỉ → \(y\) chính phương. Tương tự chứng minh \(x\) chính phương.

Bài 7

Nhiệm vụ: Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(\sqrt{9 n + 7} + \sqrt{n + 2}\) là số hữu tỉ.
Giải: Đặt \(u = \sqrt{9 n + 7} , v = \sqrt{n + 2}\), ta có \(u^{2} - 9 v^{2} = - 11 \rightarrow \left(\right. u - 3 v \left.\right) \left(\right. u + 3 v \left.\right) = - 11\). Các thừa số nguyên là \(\left(\right. 1 , - 11 \left.\right)\) → \(u + 3 v = 11 , u - 3 v = - 1\) → \(u = 5 \rightarrow 9 n + 7 = 25 \rightarrow n = 2\). Kiểm tra: \(5 + 2 = 7\) (hữu tỉ, đúng). Vậy nghiệm là \(n = 2\).

Bài 8

Nhiệm vụ: Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n + 1}\) là số tự nhiên.
Giải: Đặt tổng bằng \(k \in \mathbb{N}\), bình phương \(\sqrt{n^{2} - n + 1} = k - \sqrt{n + 1}\):
\(n^{2} - 2 n = k^{2} - 2 k \sqrt{n + 1}\)
Đặt \(m = \sqrt{n + 1}\) (số tự nhiên), thay \(n = m^{2} - 1\): khi \(m = 1 \rightarrow n = 0\) → tổng là \(1 + 1 = 2\) (tự nhiên). Với \(m \geq 2\), \(m^{4} - 4 m^{2} + 3\) nằm giữa hai bình phương liên tiếp nên không chính phương. Vậy nếu tập tự nhiên bao gồm 0, nghiệm là \(n = 0\).

Bạn có muốn mình giải thích chi tiết hơn về bất kỳ bài nào trên đây, hoặc giải một bài toán tương tự loại này không?

Bnah hc trg nào

Thật á

Tui