Gọi \(I\) là trung điểm của \(HK\). Chứng minh \(IB = ID\) • Vì tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành (chứng minh ở câu a), hai đường chéo \(HK\) và \(AC\) phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. • Mà \(I\) là trung điểm của đường chéo \(HK\) (giả thiết), do đó \(I\) cũng là trung điểm của đường chéo \(AC\). • Mặt khác, \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. • Vì \(I\) đã là trung điểm của \(AC\), nên \(I\) bắt buộc phải là trung điểm của \(BD\). • Do \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\), ta suy ra: \(IB = ID\)

1. Xét hình bình hành \(ABCD\): • Ta có hai cạnh đối song song và bằng nhau: \(AD \parallel BC\) và \(AD = BC\). 2. Xét các trung điểm: • Vì \(E\) là trung điểm của \(AD\) nên: \(ED = \frac{1}{2}AD\) • Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên: \(BF = \frac{1}{2}BC\) 3. Từ hai điều trên suy ra: • Kích thước: \(ED = BF\) (vì \(AD = BC\)) • Phương hướng: \(ED \parallel BF\) (vì \(AD \parallel BC\))

1. Xét tam giác \(ABC\): • Vì \(BM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC\). • Vì \(CN\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(N\) là trung điểm của \(AB\). • Do đó, đoạn thẳng \(NM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). • Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(NM\parallel BC\quad \text{và}\quad NM=\frac{1}{2}BC\quad (1)\) 2. Xét tam giác \(GBC\): • Theo giả thiết, \(P\) là trung điểm của \(GB\). • \(Q\) là trung điểm của \(GC\). • Do đó, đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(GBC\). • Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(PQ\parallel BC\quad \text{và}\quad PQ=\frac{1}{2}BC\quad (2)\)

1. Chứng minh \(\Delta OAM = \Delta OCN\) • Vì \(ABCD\) là hình bình hành và \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\), nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). \(\Rightarrow OA=OC\) • Do \(ABCD\) là hình bình hành nên hai cạnh đối \(AB \parallel CD\), từ đó suy ra các góc so le trong bằng nhau: \(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\text{\ (hai\ góc so le trong)}\) • Xét hai tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OCN\), ta có: • \(\widehat{MAO} = \widehat{NCO}\) (chứng minh trên) • \(OA = OC\) (chứng minh trên) • \(\widehat{AOM} = \widehat{CON}\) (hai góc đối đỉnh) \(\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OCN\text{\ (g.c.g)\ (đpcm)}\)

Từ kết quả \(\Delta OAM = \Delta OCN\) ở câu trên, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: • \(OM = ON\) Xét tứ giác \(MBND\), ta có: • \(O\) là trung điểm của đường chéo \(BD\) (\(OB = OD\)). • \(O\) là trung điểm của đường chéo \(MN\) (\(OM = ON\)). Vì tứ giác \(MBND\) có hai đường chéo \(BD\) và \(MN\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường, nên theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác \(MBND\) là hình bình hành. (Cách khác: Từ \(\Delta OAM = \Delta OCN \Rightarrow AM = CN\). Mà \(AB = CD \Rightarrow AB - AM = CD - CN \Rightarrow BM = DN\). Tứ giác \(MBND\) có \(BM = DN\) và \(BM \parallel DN\) nên là hình bình hành).

a) Chứng minh hai tứ giác \(AEFD\) và \(AECF\) là những hình bình hành • Chứng minh tứ giác \(AEFD\) là hình bình hành: • Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\). • Ta có \(E\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AE = \frac{1}{2}AB\). • \(F\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow DF = \frac{1}{2}CD\). • Mà \(AB = CD\) nên \(AE = DF\). • Mặt khác, vì \(AB \parallel CD\) nên \(AE \parallel DF\). • Tứ giác \(AEFD\) có một cặp cạnh đối \(AE\) và \(DF\) vừa song song vừa bằng nhau (\(AE \parallel DF\) và \(AE = DF\)). • Vậy tứ giác \(AEFD\) là hình bình hành.