s k lên chat

ai hỏi

tại k thích đó má

có hoặc k

j

hương iu iu

có

A

cho hình chóp S.ABCD

đáy ABCD là hình vuông cạnh a

SA vuông góc (ABCD), SA=\(a \sqrt{2}\)

đặt hệ trục tọa độ;

A(0,0,0)

B(a,0,0)

D(0,a,0

S(0,0,a\(\sqrt{2}\) )

gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SD.

xét mặt phẳng (AMN).

gọi \(\varphi\) là góc giữa SA và mặt phẳng (AMN).

ta có :

\(sin ⁡ \varphi = \frac{\mid \overset{\rightarrow}{s b} \overset{\rightarrow}{. n} \mid}{\mid \overset{\rightarrow}{S B} \mid \mid \overset{\rightarrow}{n} \mid}\)

tính được: \(sin ⁡ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

suy ra :

\(\varphi = 60 độ\)

vậy góc giữa SB và (AMN) bằng 60 độ.

Cho hình hộp \(A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\) có tất cả các cạnh bằng \(1\) và các góc phẳng tại đỉnh \(A\) đều bằng \(60^{\circ}\). Tính khoảng cách từ \(C^{'}\) đến mặt phẳng \(\left(\right. A B^{'} C \left.\right)\).

Ta có \(B C^{'} \parallel B^{'} C\) mà \(B^{'} C \subset \left(\right. A B^{'} C \left.\right)\) nên

\(B C^{'} \parallel \left(\right. A B^{'} C \left.\right)\)

Suy ra

\(d \left(\right. C^{'} , \left(\right. A B^{'} C \left.\right) \left.\right) = d \left(\right. B , \left(\right. A B^{'} C \left.\right) \left.\right) .\)

Xét tứ diện \(B . A C B^{'}\).

Ta có

\(B A = B C = B B^{'} = 1\)

nên \(B\) cách đều \(A , C , B^{'}\). Do đó \(B\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A C B^{'}\).

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A C B^{'}\). Khi đó

\(B O \bot \left(\right. A C B^{'} \left.\right)\)

và

\(d \left(\right. B , \left(\right. A C B^{'} \left.\right) \left.\right) = B O .\)

Áp dụng định lí cosin:

Trong tam giác \(A B B^{'}\):

\(A B^{' 2} = A B^{2} + B B^{' 2} - 2 \cdot A B \cdot B B^{'} cos ⁡ 120^{\circ}\) \(= 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) = 3\) \(A B^{'} = \sqrt{3} .\)

Trong tam giác \(A B C\):

\(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C cos ⁡ 120^{\circ}\) \(= 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) = 3\) \(A C = \sqrt{3} .\)

Trong tam giác \(C B B^{'}\):

\(C B^{' 2} = B C^{2} + B B^{' 2} - 2 \cdot B C \cdot B B^{'} cos ⁡ 60^{\circ}\) \(= 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1\) \(C B^{'} = 1.\)

Diện tích tam giác \(A C B^{'}\):

\(S_{A C B^{'}} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C B^{'} sin ⁡ 60^{\circ}\) \(= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} .\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\(R = \frac{A C \cdot A B^{'} \cdot C B^{'}}{4 S}\) \(= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{4 \cdot \frac{3}{4}} = 1.\)

Vì \(B O\) là khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left(\right. A C B^{'} \left.\right)\), ta có

\(B O = \sqrt{B A^{2} - R^{2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11} .\)

Vậy

\(\boxed{d \left(\right. C^{'} , \left(\right. A B^{'} C \left.\right) \left.\right) = \frac{\sqrt{22}}{11}}\)