Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì AM, BN, CP là các đường phân giác của tam giác ABC.
a) Tính CNTheo tính chất đường phân giác BN, ta có:
\[ \frac{CN}{NA}=\frac{BC}{BA} \]Mà \(\frac{AB}{AC}=\frac45\), nên \(AB=4k,\ AC=5k\).
Theo định lý đường phân giác AM:
\[ \frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac45 \]Lại có \(BC=18\) cm nên:
\[ MC=\frac{5}{4+5}\cdot18=10\text{ cm} \]Lưu ý: Để tính CN, ta cần biết tỉ số \(BC/BA\). Đề bài hiện tại chưa đủ dữ kiện để xác định CN.
b) Tính ACTa có:
\[ \frac{AB}{AC}=\frac47 \]Theo tính chất đường phân giác AM:
\[ \frac{BM}{MC}=\frac47 \]Đặt \(BM=4k,\ MC=7k\).
Vì \(MA\) là đường phân giác, áp dụng công thức độ dài đường phân giác:
\[ MA^2=AB\cdot AC-BM\cdot MC \]Tuy nhiên, với dữ kiện \(MC-MA=3\), cần thêm một bước biến đổi để tìm AC. Bạn kiểm tra lại đề giúp mình nhé.
c) Chứng minhĐề bài có thể bị thiếu dấu hoặc sai ký hiệu ở biểu thức:
\[ \frac{AP}{PB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot CM\cdot MA=1 \]Bạn kiểm tra xem biểu thức cuối có đúng là \(CM\cdot MA\) không, hay là \(\dfrac{CM}{MA}\)? Vì hai dạng này khác nhau.
Gọi \(AM:MB=BN:NC=PC:PA=x:1\) (với \(x>0\)).
Ta có:
- \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{x}{x+1}\)
- \(\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{1}{x+1}\)
- \(\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{x}{x+1}\)
- \(\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{1}{x+1}\)
- \(\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{x}{x+1}\)
a) Tính tỉ số \(S_{MNP}/S_{ABC}\)Ta có:
\(S_{ABC}=S_{AMN}+S_{MNC}+S_{NPC}+S_{MNP}\).
Mặt khác:
\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}\cdot\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{x^2}{(x+1)^2}\).
\(\dfrac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{MB}{AB}\cdot\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\).
\(\dfrac{S_{NPC}}{S_{ABC}}=\dfrac{CP}{CA}\cdot\dfrac{CN}{CB}=\dfrac{x}{(x+1)^2}\).
Suy ra:
\[ \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} =1-\frac{x^2+1+x}{(x+1)^2} =\frac{2x}{(x+1)^2}. \]Vậy tỉ số diện tích là \(\dfrac{2x}{(x+1)^2}\).
b) Tìm tỉ số để \(S_{MNP}=28\%S_{ABC}\)Ta có:
\[ \frac{2x}{(x+1)^2}=\frac7{25} \] \[ 50x=7(x+1)^2 \] \[ 7x^2-36x+7=0 \]Giải phương trình:
\[ x=\frac{36\pm\sqrt{36^2-4\cdot7\cdot7}}{14} \] \[ x=\frac{18\pm5\sqrt{11}}7. \]Vậy \(AM:MB=BN:NC=PC:PA\) bằng \(\dfrac{18+5\sqrt{11}}7:1\) hoặc \(\dfrac{18-5\sqrt{11}}7:1\).
A B C M P N S1 S2 S3
a, Đặt: \(\hept{\begin{cases}S_1=S_{PMA}\\S_2=S_{NMB}\\S_3=S_{PNC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{S_1}{S}=\frac{AM.AP}{AB.AC}\)
Và: \(\frac{S_2}{S}=\frac{BM.BN}{AB.CB}\)
Và: \(\frac{S_3}{S}=\frac{CP.CN}{AC.BC}\)
Ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k}{k+1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{k}{k+1}\)
\(\frac{CP}{PA}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AP}{CP}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow\frac{AP}{AP+CP}=\frac{1}{k+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow\frac{S_1}{S}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{S_2}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\) và \(\frac{S_3}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=S\left(1-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)
b, \(S_{MNP}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)lớn nhất.
Ta có: \(\left(k+1\right)^2\ge4k\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow Max\left[\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\right]=\frac{1}{4}\)
Khi \(k=1\Leftrightarrow M,P,N\) là trung điểm của \(AB,BC,CA\) và \(Min_{S_{MNP}}=S\left[1-\frac{3.1}{\left(1+1\right)^2}\right]=\frac{S}{4}\)
(Cũng không chắc)
Vì I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh AB, BC, CA.
Gọi khoảng cách từ I đến AB và AC lần lượt là \(d\) (cũng bằng khoảng cách từ I đến BC).
Ta có:
\(S_{ABC}=S_{IAB}+S_{IBC}+S_{ICA}\)
Mà:
- \(S_{IAB}=\dfrac12\cdot AB\cdot d=\dfrac12cd\).
- \(S_{IBC}=\dfrac12\cdot BC\cdot d=\dfrac12ad\).
- \(S_{ICA}=\dfrac12\cdot CA\cdot d=\dfrac12bd\).
Suy ra:
\(S_{ABC}=\dfrac12cd+\dfrac12ad+\dfrac12bd\)
\(S_{ABC}=\dfrac12(a+b+c)d\).
Vậy \(S_{ABC}=\dfrac{a+b+c}{2}\cdot d\). (Điều phải chứng minh)
Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{ABC}\)chung
\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HBA~\Delta ABC\left(g.g\right)\)
b.AD ĐL Pitago vào \(\Delta ABC\) vuông tại A có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(BC^2=12^2+16^2\)
\(BC^2=144+256=400\)
\(BC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)
Vì \(\Delta HBA~\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{12}=\frac{16}{20}\Rightarrow AH=\frac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)
A B C P M N D E F
a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 900 + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP
Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)
Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:
\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)
\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)
\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)
\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)
\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)
Bài dài quá nên tạm thời mk chỉ làm 3 câu sơ sơ thôi nha!
A B C F D N P M O
a, ta cm được CP là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow PN//BC\Rightarrow PN//CF \)
Mà PC//NF(giả thiết) suy ra PNFC là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b, Ta có NF//PC mà PC//BD suy ra NF//BD
mặt khác BN//DF suy ra BNFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c, hình như sai đề
d, Đặt điểm O như hình nha!
Do BNFD là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm suy ra OD=ON và OB=OF(1)
PN là đường trung bình của ABC nên \(PN=\frac{1}{2}BC\)
mà \(BM=\frac{1}{2}BC\) nên BM=PN
mặt khác PN=CF ( do PNFC là hình bình hành)
nên BM=CF(2)
Từ 1 và 2 Ta có \(OB=OF\)
\(BM+MO=OC+CF\)
\(\Rightarrow MO=OC\)suy ra O là TĐ của MC
mà N là TĐ của AC suy ra NO là đường trung bình của \(\Delta AMC\)
suy ra AM=2ON
mà ND=ON+OD=2ON suy ra AM=ND
câu e mk nhác òi bạn tự làm nha!!!
. . .
chữ to thí
Xét ΔABC có AM là phân giác
nên \(\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\)
=>\(\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{BM+MC}=\frac{c}{c+b};\frac{CM}{CB}=\frac{b}{b+c}\)
Xét ΔABC có BN là phân giác
nên \(\frac{AN}{NC}=\frac{BA}{BC}=\frac{c}{a}\)
=>\(\frac{AN}{AC}=\frac{c}{a+c};\frac{CN}{AC}=\frac{a}{a+c}\)
Xét ΔABC có CP là phân giác
nên \(\frac{AP}{PB}=\frac{CA}{CB}=\frac{b}{a}\)
=>\(\frac{AP}{AB}=\frac{b}{a+b};\frac{BP}{BA}=\frac{a}{a+b}\)
\(\frac{BP}{BA}=\frac{a}{a+b}\)
=>\(S_{BPC}=\frac{a}{a+b}\cdot S_{ACB}\)
Ta có: \(\frac{BM}{BC}=\frac{c}{c+b}\)
=>\(S_{BPM}=\frac{c}{c+b}\cdot S_{BPC}=\frac{c}{c+b}\cdot\frac{a}{a+b}\cdot S_{ABC}=\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(\frac{CM}{CB}=\frac{b}{b+c}\)
=>\(S_{AMC}=\frac{b}{b+c}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(\frac{CN}{CA}=\frac{a}{a+c}\)
=>\(S_{MNC}=\frac{a}{c+a}\cdot S_{CMA}=\frac{a}{a+c}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot S_{ABC}=\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(\frac{AN}{AC}=\frac{c}{a+c}\)
=>\(S_{BNA}=\frac{c}{c+a}\cdot S_{BAC}\)
Ta có: \(\frac{AP}{AB}=\frac{b}{a+b}\)
=>\(S_{APN}=\frac{b}{a+b}\cdot\frac{c}{c+a}\cdot S_{BAC}=\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\cdot S_{BAC}\)
\(S_{APN}+S_{BPM}+S_{CNM}\)
\(=S_{ABC}\left(\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\right)\)
\(=S_{ABC}\cdot\frac{ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
\(=S_{ABC}\cdot\frac{a^2c+a^2b+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\cdot\left(a+c\right)}\)
Ta có: \(S_{MNP} = S_{ABC} - (S_{APN} + S_{BPM} + S_{CNM})\)
=>\(S_{MNP} = S_{ABC} \left( 1 - \frac{a^2c + a^2b + ac^2 + ab^2 + b^2c + bc^2}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right)\)
\(S_{MNP}=S_{ABC}\cdot\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)-\left(a^2c+a^2b+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\cdot\left(a+c\right)}\)
\((a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ab + c^2 + ac)\)
\(= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc\)
\(= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc\)
\((a+b)(b+c)(c+a)-(a^2c+a^2b+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2)\)
\(=(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc)-(a^2c+a^2b+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2)\)
=2bac
=>\(S_{MNP}=S_{ABC}\cdot\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)