Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(3\left(4a^2+6b^2+3c^2\right)-4\left(a+b+c\right)^2\)
\(=\frac{\left(4a-2b-2c\right)^2+6\left(2b-c\right)^2}{16}\ge0\)
Rồi làm nốt.
Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy
Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xyxy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y||x−y|
Không mất tính tổng quát giả sử: x≥yx≥y thì: x≥101x≥101; y≤100y≤100
Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−
dùng cô si thôi
\(a^4+b^2\ge2a^2b;b^4+c^2\ge2b^2c;c^4+a^2\ge2c^2a\)
\(a^2b^2+a^2\ge2a^2b;b^2c^2+b^2\ge2b^2c;c^2a^2+c^2\ge2c^2a\)
từ 2 cái trên =>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
đặt t=a2+b2+c2\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left[2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{19}{2}\right]\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2t^3-8t^2-3t+27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2t^3-3t+27}{2t^2}\ge4\Rightarrow P\ge4\)
Lời giải:
Trước tiên, ta sẽ CM bất đẳng thức sau:\(P\geq \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)\((\star)\)
Thật vậy: BĐT tương đương với :
\(a^2\left (\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b} \right )+b^2\left ( \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c} \right )+c^2\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a^2-c^2)+b^2(b^2-a^2)+c^2(c^2-b^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geq 0\) (luôn đúng)
BĐT \((\star)\) được chứng minh .
Giờ ta chỉ cần tìm min của \(A=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
Để ý rằng \(A-\left(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\right)=\sum \left(\frac{a^2-b^2}{a+b}\right)=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow 2A=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\). Sử dụng Cauchy-Schwarz:
\(2A\geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(a+b+c)}=\frac{1008}{a+b+c}\)
Sử dụng AM_GM: \(\sqrt{2016}=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{c+a}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\leq 12\sqrt{7}\) suy ra \(A\geq 6\sqrt{7}\) suy ra \(P_{\min}=6\sqrt{7}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=4\sqrt{7}\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
Ta có:
\(Q=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(Q=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2ab}+\frac{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}{2bc}+\frac{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)}{2ca}\)
\(Q=\frac{\left(a+b\right)\left[\left(a^2+b^2\right)-ab\right]}{2ab}+\frac{\left(b+c\right)\left[\left(b^2+c^2\right)-bc\right]}{2bc}+\frac{\left(c+a\right)\left[\left(c^2+a^2\right)-ca\right]}{2ca}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)}{2ab}+\frac{\left(b+c\right)\left(2bc-bc\right)}{bc}+\frac{\left(c+a\right)\left(2ca-ca\right)}{ca}\) \(\left(Cauchy\right)\)
\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
BĐT Bunhiacopski:
\(P^2\le3\left(2a+2b+2c\right)=6.2021=12126\)
\(\Leftrightarrow P\le\sqrt{12126}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2021}{3}\)
Số thực cho lớp 7 ak
có vấn đề đọc hiểu à???
làm ơn không biết trả lời thì đừng có gửi câu trả lời giúp t cái
- \(2a^3 + \frac{675}{12167} + \frac{675}{12167} \ge \frac{1350}{529}a\)
- \(18b^3 + \frac{250}{12167} + \frac{250}{12167} \ge \frac{1350}{529}b\)
- \(50c^3 + \frac{54}{12167} + \frac{54}{12167} \ge \frac{1350}{529}c\)
Cộng vế theo vế và thay \(a+b+c=1\), ta được:\((2a^{3}+18b^{3}+50c^{3})+\frac{1800}{529}\ge \frac{1350}{529}\)
\(\implies 2a^{3}+18b^{3}+50c^{3}\ge \frac{450}{529}\)Dấu "=" xảy ra khi \(a = \frac{15}{23}; b = \frac{5}{23}; c = \frac{3}{23}\).Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(\frac{450}{529}\).
@Nguyễn Yến Nhi
Bạn không làm được chứng tỏ bạn thua người lớp 7,vậy nên bạn?KID
ok ạ mình ko làm dc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
\(2a^3 + 2 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^3 + 2 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^3 \ge 3 \cdot \sqrt[3]{2a^3 \cdot 2 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^3 \cdot 2 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^3} = 6 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^2 a\)
\(18b^3 + 18 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^3 + 18 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^3 \ge 3 \cdot \sqrt[3]{18b^3 \cdot 18 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^3 \cdot 18 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^3} = 54 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^2 b\)
\(50c^3 + 50 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^3 + 50 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^3 \ge 3 \cdot \sqrt[3]{50c^3 \cdot 50 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^3 \cdot 50 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^3} = 150 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^2 c\)
Để ý rằng:
\(6 \cdot \left(\frac{15}{23}\right)^2 = 54 \cdot \left(\frac{5}{23}\right)^2 = 150 \cdot \left(\frac{3}{23}\right)^2 = \frac{1350}{529}\)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta thu được:
\(P + 2 \cdot \left(2a_0^3 + 18b_0^3 + 50c_0^3\right) \ge \frac{1350}{529}(a + b + c)\)
Vì \(a + b + c = 1\) , thay các giá trị \(a_0 = \frac{15}{23}, b_0 = \frac{5}{23}, c_0 = \frac{3}{23}\) vào ta tính được:
\(P\mathbf{_{\min}=}\frac{450}{259}\)
Đ** biết tao với lớp 2 mà
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(2a^3 + \frac{225}{529} + \frac{225}{529} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{2a^3 \cdot \left(\frac{225}{529}\right)^2} = \frac{450}{529}a\)
\(18b^3 + \frac{25}{529} + \frac{25}{529} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{18b^3 \cdot \left(\frac{25}{529}\right)^2} = \frac{150}{529}b\)
\(50c^3 + \frac{9}{529} + \frac{9}{529} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{50c^3 \cdot \left(\frac{9}{529}\right)^2} = \frac{90}{529}c\)
Do đó: \(\left(2a^3 + 18b^3 + 50c^3\right) + \frac{225 + 225 + 25 + 25 + 9 + 9}{529} \ge \frac{450}{529}a + \frac{150}{529}b + \frac{90}{529}c\)
=>\(P + \frac{518}{529} \ge \frac{450}{529}(a + b + c)\)
=>\(P\ge\frac{450}{529}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} a = \dfrac{135\sqrt[3]{3}}{23} \\ b = \dfrac{45}{23} \\ c = \dfrac{27\sqrt[3]{3}}{23} \end{cases}\)