Question

[Một lũ họ hàng lãm l,...]

bài 1 (cần gấp): cho △ABC vuông tại A. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF cắt GF tại I

a) tứ giác AEGF là hình gì?

b) chứng minh BEIF là hình bình hành

c) chứng minh AGCI là hình thoi

Bài 2: △ABC vuông tại A; AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Gọi O là trung điểm của HC

a) Chứng minh rằng ∠OFE = 90^o

b) từ A kẻ đường thẳng song song với FO cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm của BC

bài 3: △ABC vuông tại A, M ∈ BC. MH ⊥ AB, MK ⊥ AC

a) AHMK là hình gì?

b) xác định M để AK nhỏ nhất

Answer 1

[Bùi Phương Giang]

Lời giải Bài 1Tóm tắt giả thiết:

• \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\).
• \(E, F, G\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC, BC\).
• \(EI \parallel BF\) (\(I \in GF\)).

a) Tứ giác \(AEGF\) là hình gì?

• Xét \(\triangle ABC\), ta có:
• • \(E\) là trung điểm của \(AB\)
  • \(G\) là trung điểm của \(BC\)
  • \(\Rightarrow EG\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
• Theo tính chất đường trung bình:
• • \(EG \parallel AC\) (hay \(EG \parallel AF\))
  • \(EG = \frac{1}{2}AC = AF\).
• Tứ giác \(AEGF\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau (\(EG \parallel AF\) và \(EG = AF\)), nên \(AEGF\) là hình bình hành.
• Lại có \(\angle EAF = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\)).
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Vậy \(AEGF\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(BEIF\) là hình bình hành

• Xét \(\triangle ABC\), ta có \(F\) là trung điểm \(AC\) và \(G\) là trung điểm \(BC\) nên \(FG\) là đường trung bình của \(\triangle ABC \Rightarrow FG \parallel AB\).
• Vì \(I \in GF\) nên đường thẳng \(FI\) chính là đường thẳng \(GF\). Do đó, \(FI \parallel AB\) (hay \(FI \parallel BE\)).
• Xét tứ giác \(BEIF\) có:
• • \(EI \parallel BF\) (theo giả thiết)
  • \(FI \parallel BE\) (chứng minh trên)
• Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
• Vậy \(BEIF\) là hình bình hành.

c) Chứng minh \(AGCI\) là hình thoi

• Vì \(BEIF\) là hình bình hành (chứng minh ở câu b) \(\Rightarrow FI = BE\).
• Mà \(E\) là trung điểm \(AB\) nên \(BE = AE \Rightarrow FI = AE\).
• Ta có \(FI \parallel AE\) (do \(GF \parallel AB\)) và \(FI = AE\), nên tứ giác \(AEIF\) là hình bình hành \(\Rightarrow AI \parallel EF\) và \(AI = EF\).
• Mặt khác, \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC \Rightarrow EF \parallel GC\) và \(EF = GC = \frac{1}{2}BC\).
• Bắc cầu qua \(EF\), ta được:
• • \(AI \parallel GC\)
  • \(AI = GC\)
• Tứ giác \(AGCI\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên \(AGCI\) là hình bình hành.
• Trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), \(AG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC \Rightarrow AG = \frac{1}{2}BC = GC\).
• Hình bình hành \(AGCI\) có hai cạnh kề bằng nhau (\(AG = GC\)) nên \(AGCI\) là hình thoi.