Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có tứ giác AIMJ là hcn=> AIMJ nội tiếp đường tròn đường kính AM, IJ
Vì N đối xứng với M qua IJ => góc JNI = góc JMI = 90o ha N thuộc đường tròn đường kính AM và IJ => góc ANM = 90o
mà I thuộc trung trực MN => tam giác MIC vuông cân tại I => I thuộc trung trực MC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC
=> góc MNC =1/2 góc MIC = 450
=> góc ABC + góc ANC = 45+90+45=1800
Hay tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn (T) (ĐPCM)
b)CM: 1/PM<1/PB+1/PC ?
Ta có: tam giác MPC đồng dạng tam giác MBA => PM/MB=PC/BA => PM/PC=MB/BA (1)
TAM GIÁC MBP đồng dạng tam giác MAC => PM/MC=PB/CA=> PM/PB=MC/AC (2)
Cộng vế theo về của (1) và (2) ta có:
PM/PC+PM/PB=MB/BC+MC/AC=MB/BA+MC/BA=AC/BA>1 => ĐPCM
c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:
DH2=DK.DC => DA2=DK.DC
=> DA/DC=DK/DA => TAM GIÁC DKA đồng dạng tam giác DAC => góc AKD =DAC =45o
=> góc ABH+ góc AKH = 45+45+90=1800=> TỨ GIÁC ABHK nội tiếp
=> Góc AKB =AHB =90 = GÓC HKC
Mà góc ABK =AHK=KCH => đpcm
a:
Xét (K) có
ΔADH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔADH vuông tại D
=>HD⊥AB tại D
Xét (K) có
ΔAEH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAEH vuông tại E
=>HE⊥AC tại E
Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
b: ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OB=OC
OA=OC
=>ΔOAC cân tại O
=>\(\hat{OAC}=\hat{OCA}=\hat{ACB}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)
mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)
\(\hat{AED}+\hat{OAC}\)
\(=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>DE⊥AO
. A B O H C d
a) VÌ: \(OC\perp EF\left(gt\right)\)
\(AE\perp EF\left(gt\right)\)
=> OC//AE
=> \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc sole trong) (1)
Vì: OC=OA(gt)
=> ΔOAC cân tại O
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (2)
Từ (1);(2) suy ra:
\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)
=>AC là tia pg của \(\widehat{BAE}\)
b)Chứng minh tương tự như câu a ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)
Xét ΔAEC và ΔAHC có:
\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)
AC:cạnh chung
\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)
=>ΔAEC=ΔAHC ( cạnh huyền -góc nhọn)
=>AE=AH
Xét ΔCHB và ΔCFB có:
\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)
BC:cạnh chung
\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)
=> ΔCHB=ΔCFB(ch-gn)
=> BF=HB
Xét ΔABC có: OA=OB=OC
=> ΔABC cân tại C
=> \(CH^2=AH\cdot BH\)
Hay: \(CH^2=AE\cdot BF\)
Dễ mà!
Câu a): \(\widehat{ECA}=\widehat{CBH}=\widehat{ACH}\) nên \(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\).
Câu b): Từ câu a) CM được tam giác \(ECA\) và \(HCA\) là bằng nhau, tức là \(EA=HA\)
Tương tự, \(FB=HB\) nên \(BF.AE=AH.BH=CH^2\)
d A O H B C
a ) Vì \(OC\perp EF\left(gt\right)\)
\(AE\perp EF\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow OC//AE\)
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc so le trong ) (1)
Vì : OC = OA ( gt)
\(\Rightarrow\Delta OAC\) cận tại O
\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)
\(\Rightarrow\) AC là tia phân giác của \(\widehat{BAE}\)
b ) Chứng minh tương tự như câu a ta có :
\(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)
Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta AHC\) có :
\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)
AC : cạnh chung
\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AEC=\Delta AHC\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Rightarrow AE=AH\)
Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CFB\) có :
\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)
BC : cạnh chung
\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta CHB=\Delta CFB\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BF=HB\)
Xét : tam giác ABC có : OA = OB =OC
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C
\(\Rightarrow CH^2=AH.BH\)
Hay \(CH^2=AE.BF\)
Chúc bạn học tốt !!!
a: K đối xứng A qua H
=>H là trung điểm của AK
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHK vuông tại H có
BH chung
HA=HK
Do đó: ΔBHA=ΔBHK
=>BA=BK và \(\hat{ABH}=\hat{KBH}\)
Xét ΔBAC và ΔBKC có
BA=BK
\(\hat{ABC}=\hat{KBC}\)
BC chung
Do đó: ΔBAC=ΔBKC
=>\(\hat{BAC}=\hat{BKC}\)
=>\(\hat{BKC}=90^0\)
Xét tứ giác ABKC có \(\hat{BAC}+\hat{BKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABKC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,K,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\)
\(AD\cdot AB+AE\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2=2\cdot AH^2=2\cdot DE^2\)
\(\Rightarrow BA=BK\quad \text{và}\quad CA=CK\)
b) Chứng minh \(AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2\)
\(AD\cdot AB=AH^{2}\quad (1)\)
\(AE\cdot AC=AH^{2}\quad (2)\)
\(AD\cdot AB+AE\cdot AC=AH^{2}+AH^{2}=2AH^{2}\quad (3)\)
Do đó, tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.
\(DE=AH\Rightarrow DE^{2}=AH^{2}\quad (4)\)
\(\mathbf{AD\cdot AB+AE\cdot AC=2DE}^{\mathbf{2}}\)