Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm thử theo cách cổ truyền vậy -.-
Ta có : \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-m+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=m^4+m^2+8m-15\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+16-m^4-m^2-8m=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn n
Ta có : \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63\)
Pt có nghiệm nguyên khi \(\Delta\)là 1 số chính phương
Ta có \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63=\left(2m^2+2\right)^2-4\left(m-4\right)^2-3< \left(2m^2+2\right)^2\)
Giả sử m > 2 thì\(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)>\left(2m^2+1\right)^2\forall m>2\)
Khi đó \(\left(2m^2+1\right)^2< \Delta< \left(2m^2+2\right)^2\)
Như vậy \(\Delta\)không phải số chính phương (Vì giữa 2 số chính phương liên tiếp ko còn scp nào nữa)
Nên điều giả sử là sai .
Tức là\(m\le2\)
Mà \(m\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow m\in\left\{1;2\right\}\)
*Với m = 1 thì pt ban đầu trở thành
\(n^2+n+1=\left(1+1-3\right)\left(1-1+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=-5\)
\(\Leftrightarrow\left(n+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\)
Pt vô nghiệm
*Với m = 2 thì pt ban đầu trở thành
\(n^2+n+1=\left(2^2+2-3\right)\left(2^2-2+5\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2+n+1=21\)
\(\Leftrightarrow n^2+n-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-4\right)\left(n+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=4\left(Do\text{ }n\inℕ^∗\right)\)
Vậy pt ban đầu có nghiệm nguyên dương duy nhất (m;n) = (2;4)
Giúp : Cho \(\Delta\)ABC nhọn nội tiếp (O) , D là điểm trên cung BC không chứa A . Dựng hình bình hành ADCE . Gọi H , K là trực tâm của tam giác ABC , ACE ; P , Q là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC , AB và I là giao EK , AC
CMR: a,P ; I ; Q thẳng hàng
b, đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK
thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)
có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:
trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)
\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)
\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)
thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)
đến đây thì đơn giản
Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13
Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8
Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1
Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
đến đây thì dễ rồi
Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra
Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2
Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra
Ta có:
$$p^n + q^{2n} = r^2$$$$\Rightarrow p^n = r^2 - (q^n)^2$$$$\Rightarrow p^n = (r - q^n)(r + q^n)$$Vì $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương, nên $r - q^n$ và $r + q^n$ phải là các lũy thừa của $p$.
Đặt $r - q^n = p^a$ và $r + q^n = p^b$ (với $a < b$ và $a + b = n$).
Lấy vế trừ vế ta được:
$$2q^n = p^b - p^a$$$$2q^n = p^a(p^{b-a} - 1)$$Thử các giá trị số nguyên tố, ta chọn được:
Thử lại:
$$3^2 + 2^{2 \cdot 2} = 9 + 2^4 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$(Thỏa mãn)
Vậy $p = 3, q = 2, r = 5, n = 2$.
#Bạn tham khảo nhé
HỌC TỐT
Bài 5
Ta có:
\(p^n + q^(2n) = r²\)
\(⇒ r² - q^(2n) = p^n\)\(⇒ (r - q^n)(r + q^n) = p^n\)
Nếu q là số nguyên tố lẻ thì \(q^{(2n)}\)lẻ
Nếu p lẻ thì \(r²\) chẵn \(⇒ r = 2\), vô lý vì \(q^{(2n)}\ge9\)
Nếu \(p = 2\) thì cũng vô lý
Vậy \(q = 2\)
Khi đó:
\(p^{n}+2^{(2n)}=r^2\)
\(⇒ (r - 2^n)(r + 2^n) = p^n\)
Suy ra p là số nguyên tố lẻ và:
r - 2^n = 1
\(r + 2^n = p^n\)
\(\Rightarrow p^{n}-1=2^{\left(n+1\right)}\)
Xét \(n = 1:\)
\(p - 1 = 4\)
\(⇒ p = 5\)
\(r = 3\)
\(⇒ (p,q,r,n) = (5,2,3,1)\)
Xét \(n > 1\)
Nếu n lẻ:
\(p^n - 1 = (p - 1)(p^(n-1) + ... + p + 1)\)
Mà thừa số thứ hai là số lẻ lớn hơn 1, trái với p^n - 1 là lũy thừa của 2
Vậy n chẵn
Đặt \(n = 2k:\)
\(p^{(2k)}-1=2^{(}2k+1)\)
\(⇒ (p^k - 1)(p^k + 1) = 2^(2k+1)\)
Hai thừa số hơn kém nhau 2 nên:
\(p^k - 1 = 2\)
\(p^k + 1 = 4\)
\(⇒ p^k = 3\)
\(⇒ p = 3, k = 1\)
\(⇒ n = 2\)
\(⇒ r = 5\)
Vậy tất cả nghiệm là:
\((p,q,r,n) = (5,2,3,1)\)
hoặc
\((p,q,r,n) = (3,2,5,2)\)
t7y6y6nc