Question

[💞Nguyên Hằng💞]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị khác 0. Giả sử mọi ý

tưởng (ideal) của R ngoại trừ R đều

là ý tưởng nguyên tố (prime ideal).

Yêu cầu: Chứng minh rằng R là một trường (field).

giải theo của đh

Answer 1

[Phùng Việt Hưng]

Bước 1: Chứng minh vành \(R\) là một miền nguyên (không có ước của \(0\))Giả sử tồn tại các phần tử \(a, b \in R\) sao cho \(ab = 0\) và \(a \neq 0, b \neq 0\).
Xét ideal chính \(\left\langle ab \right\rangle = \left\langle 0 \right\rangle\). Vì \(\left\langle 0 \right\rangle \neq R\), theo giả thiết, \(\left<0\right>\) là một ideal nguyên tố.
Từ \(ab \in \left\langle 0 \right\rangle\), theo định nghĩa của ideal nguyên tố, ta suy ra \(a \in \left\langle 0 \right\rangle\) hoặc \(b \in \left\langle 0 \right\rangle\), dẫn đến \(a = 0\) hoặc \(b = 0\). Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy \(R\) là miền nguyên. [1, 2]Bước 2: Chứng minh mọi ideal thực sự khác \(\left\{0\right\}\) là ideal tối đạiGiả sử \(I\) là một ideal thực sự khác \(\left\{0\right\}\) của \(R\). Vì \(I \neq R\), theo giả thiết \(I\) là một ideal nguyên tố.
Vì \(R\) là miền nguyên và \(I \neq \left\{0\right\}\), mọi ideal nguyên tố khác \(\left\{0\right\}\) trong miền nguyên đều là ideal tối đại. Do đó, \(I\) là một ideal tối đại của \(R\). [1, 2]Bước 3: Kết luận \(R\) là một trườngVì vành giao hoán có đơn vị \(R \neq \left\{0\right\}\) luôn tồn tại ideal tối đại, và theo Bước 2 mọi ideal thực sự khác \(\left\{0\right\}\) đều là tối đại.
Do đó, \(R\) không thể chứa bất kỳ ideal thực sự nào khác \(\left\{0\right\}\) nữa.
Nếu một vành chỉ có đúng hai ideal là \(\left\{0\right\}\) và chính nó, thì vành đó là một trường. [1, 2]